Question 2

Énoncé

Cette activité se propose d'étudier un jeu afin d'estimer le gain moyen qu'il peut apporter.

Un casino propose le jeu suivant : 

• le joueur choisit un nombre entre 1 et 6 ;
  
• le joueur lance deux dès une ou plusieurs fois ;
  
• chaque lancer coûte 1 € ;
  
• lorsque les issues des deux dés sont égales au numéro choisi, le joueur remporte 20 € ; 
  
• si l'issue d'un seul des deux dé est égale au numéro choisi, le joueur remporte 1 € ; 
  
• dans tous les autres cas, le joueur perd sa mise et ne remporte rien. 

Question 2. Modélisation

On considère l'expérience aléatoire consistant à lancer deux dés équilibrés et on définit la fonction   $\text{G}$  qui, à chaque issue de cette expérience aléatoire, associe le gain du joueur en € ;   $\text{G}$  est une variable aléatoire.
    a. Représenter l'expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré ou d'un tableau à double entrée. Quelles sont les différentes issues de cette expérience aléatoire ? 
    b. Déterminer les probabilités de chacune des issues possibles. 
    c. Expliquer pourquoi $\text{G}$   ne prend que les trois valeurs suivantes : $-1;0;19$ .
Dans la suite, on note  $(G=19)$  l'événement « Le joueur gagne 19 € ». 
    d. Déterminer les probabilités suivantes : $P(\text{G}=\text{[}-1]);P(\text{G}=0);P(\text{G}=19)$ . 
    e. Calculer  $E(\text{G})=\text{[}-1]\text{timesP}(\text{G}=\text{[}-1])+0\text{timesP}(\text{G}=0)+19\times P(\text{G}=19)$ . Ce nombre s'appelle espérance de la variable aléatoire $\text{G}$ . Quelle pourrait-être son interprétation dans le cadre de ce jeu ?